拖动点，观察切线斜率
1.0
当前 x₀
1.00
f(x₀)
1.00
切线斜率 f′(x₀)
2.00
切线方程
y = 2x−1
导数的几何意义
切线斜率 = 导数值
函数 f(x) 在点 x₀ 处的导数 f′(x₀)，等于曲线在该点切线的斜率。
切线方程：y − f(x₀) = f′(x₀)·(x − x₀)
• 斜率 > 0：函数在该点递增（切线向右上方倾斜）
• 斜率 < 0：函数在该点递减（切线向右下方倾斜）
• 斜率 = 0：极值点候选（切线水平）
函数 f(x) 在点 x₀ 处的导数 f′(x₀)，等于曲线在该点切线的斜率。
切线方程：y − f(x₀) = f′(x₀)·(x − x₀)
• 斜率 > 0：函数在该点递增（切线向右上方倾斜）
• 斜率 < 0：函数在该点递减（切线向右下方倾斜）
• 斜率 = 0：极值点候选（切线水平）
差商 [f(x₀+h) − f(x₀)] / h 趋向导数
1.0
2.00
x₀
1.00
步长 h
2.00
差商（割线斜率）
4.00
真实导数 f′(x₀)
2.00
误差
2.00
极限定义推导步骤
- 在曲线上选定点 A = (x₀, f(x₀))
- 取另一点 B = (x₀+h, f(x₀+h))，作割线 AB
- 割线斜率（差商）= [f(x₀+h) − f(x₀)] / h
- 让 h → 0，B 点沿曲线趋向 A 点，割线趋向切线
- 若极限存在，该极限值就是导数 f′(x₀) = limh→0 [f(x₀+h)−f(x₀)] / h
调节上方的 h 滑块 向 0 趋近，观察蓝色割线（穿过两点）逐渐趋近红色切线，差商趋近真实导数值。
基本导数公式
| 函数 f(x) | 导数 f′(x) | 示例 |
|---|---|---|
| C（常数） | 0 | (5)′ = 0 |
| xn | n·xn−1 | (x³)′ = 3x² |
| √x = x1/2 | 1/(2√x) | (√x)′ = 1/(2√x) |
| 1/x = x−1 | −1/x² | (1/x)′ = −1/x² |
| sin x | cos x | (sin x)′ = cos x |
| cos x | −sin x | (cos x)′ = −sin x |
| eˣ | eˣ | (e²ˣ)′ = 2e²ˣ（链式） |
| ln x | 1/x | (ln 2x)′ = 1/x（链式） |
| aˣ | aˣ·ln a | (2ˣ)′ = 2ˣ·ln 2 |
| logax | 1/(x·ln a) | (log₂x)′ = 1/(x·ln 2) |
求导法则
- 线性法则：(af ± bg)′ = af′ ± bg′
- 乘积法则：(fg)′ = f′g + fg′
- 商法则：(f/g)′ = (f′g − fg′) / g²
- 链式法则：[f(g(x))]′ = f′(g(x))·g′(x)
例：h(x) = sin(x²)
令 u = x²，h = sin(u)
h′ = cos(u)·2x = 2x·cos(x²)
令 u = x²，h = sin(u)
h′ = cos(u)·2x = 2x·cos(x²)
导数应用：极值判断
- 令 f′(x) = 0，求出驻点 x₀
- 若 f′′(x₀) < 0，则 x₀ 是极大值点
- 若 f′′(x₀) > 0，则 x₀ 是极小值点
- 也可用一阶导符号变化判断：
左正右负 → 极大；左负右正 → 极小
f′(x₀) = 0 且 f′′(x₀) < 0 ⟹ 极大值
f′(x₀) = 0 且 f′′(x₀) > 0 ⟹ 极小值