黎曼和：用矩形面积逼近曲线下面积
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分割数 n
6
黎曼和近似值
—
精确积分值
—
误差
—
黎曼和定义
将 [a, b] 分成 n 等份，每份宽度 Δx = (b−a)/n
左矩形和：Sn = Σ f(xi−1)·Δx（i = 1,...,n）
右矩形和：Sn = Σ f(xi)·Δx
中点矩形：Sn = Σ f((xi−1+xi)/2)·Δx
当 n → ∞（矩形越来越细），黎曼和趋近于定积分：
左矩形和：Sn = Σ f(xi−1)·Δx（i = 1,...,n）
右矩形和：Sn = Σ f(xi)·Δx
中点矩形：Sn = Σ f((xi−1+xi)/2)·Δx
当 n → ∞（矩形越来越细），黎曼和趋近于定积分：
∫ₐᵇ f(x) dx = lim(n→∞) Σᵢ f(xᵢ*)·Δx
微积分基本定理：面积累积函数 F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt
—
积分上限 x
—
阴影面积（数值）
—
F(x) 精确值
—
f(x)（斜率）
—
两个基本定理
- 第一基本定理：若 F(x) = ∫ₐˣ f(t)dt，则 F′(x) = f(x)
→ 面积函数的导数等于原函数 - 第二基本定理（Newton-Leibniz）：
∫ₐᵇ f(x)dx = G(b) − G(a)，其中 G′ = f - 两个定理合称微积分基本定理，将微分与积分联系起来
F(x) = ∫ₐˣ f(t)dt ⟹ F′(x) = f(x)
∫ₐᵇ f(x)dx = G(b)−G(a)
上方图中，蓝色阴影面积随上限 x 增大而增大。
面积增长的速率（斜率）正好等于该点处 f(x) 的值。
面积增长的速率（斜率）正好等于该点处 f(x) 的值。
基本积分公式
| 被积函数 f(x) | 不定积分 ∫f(x)dx |
|---|---|
| xⁿ（n≠−1） | xⁿ⁺¹/(n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| eˣ | eˣ + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C |
| sin x | −cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| 1/√(1−x²) | arcsin x + C |
| 1/(1+x²) | arctan x + C |
积分法则与技巧
- 线性法则：∫[af(x)+bg(x)]dx = a∫f dx + b∫g dx
- 换元法：令 u=g(x)，∫f(g(x))g′(x)dx = ∫f(u)du
例：∫2x·e^(x²)dx，令 u=x²，du=2x dx，= ∫eᵘdu = e^(x²)+C - 分部积分：∫u dv = uv − ∫v du
例：∫x·eˣdx = x·eˣ − ∫eˣdx = xeˣ − eˣ + C - Newton-Leibniz：定积分 = 原函数在两端点的差值
∫ₐᵇ f(x)dx = [G(x)]ₐᵇ = G(b) − G(a)
常见定积分例题
| 定积分 | 计算过程 | 结果 |
|---|---|---|
| ∫₀¹ x² dx | [x³/3]₀¹ = 1/3 − 0 | 1/3 ≈ 0.333 |
| ∫₀ᵖ sin x dx | [−cos x]₀ᵖ = 1+1 | 2 |
| ∫₁ᵉ (1/x) dx | [ln x]₁ᵉ = 1 − 0 | 1 |
| ∫₀¹ eˣ dx | [eˣ]₀¹ = e − 1 | e−1 ≈ 1.718 |
| ∫₀² √x dx | [2x^(3/2)/3]₀² = 2·2√2/3 | 4√2/3 ≈ 1.886 |
| ∫₋₁¹ x³ dx | 奇函数，关于原点对称 | 0 |