函数极值与驻点可视化
极值判别法则
- 求导数 f′(x)，令 f′(x) = 0，得驻点
- 计算二阶导数 f′′(x₀)：
• f′′(x₀) < 0 → 极大值（山顶）
• f′′(x₀) > 0 → 极小值（谷底）
• f′′(x₀) = 0 → 需进一步判断（可能是拐点） - 也可用一阶导符号变化：
左⊕右⊖ → 极大；左⊖右⊕ → 极小
闭区间最值
- 求区间内所有驻点（令 f′=0）
- 检查区间端点 a, b 的函数值
- 比较所有驻点和端点处的函数值
- 最大者为最大值，最小者为最小值
注意：极值是局部概念（邻域内最大/小），最值是全局概念（整个区间上最大/小）。极值点不一定是最值点！
实际问题演示：最优矩形面积
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参数
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最优值
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最优解
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目标函数
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自定义优化问题求解器
输入参数，一键求解常见优化问题：
最优化问题解题步骤
- 设定变量：明确决策变量 x（如矩形的宽），确定其合理范围
- 建立目标函数：将要优化的量（面积、利润、成本等）用 x 表达
- 处理约束条件：利用约束将多变量化为单变量（如用周长约束消去 y）
- 求导并令其为零：f′(x) = 0，解出驻点 x₀
- 验证是极大还是极小：用二阶导或一阶导符号变化验证
- 检查端点：若有区间限制，还需比较端点处的值
- 作出结论：回答原问题（注意带单位！）
例题：铁丝折矩形最大面积
用长 20 cm 的铁丝围成矩形，求面积最大时的边长。
设宽为 x，则长为 (20−2x)/2 = 10−x
面积 S(x) = x(10−x) = 10x − x²，x ∈ (0,5)
S′(x) = 10 − 2x = 0，解得 x = 5
但 x=5 时另一边 = 5，S′′(5) = −2 < 0 ✓ 极大
最优解：x = 5 cm，面积 = 25 cm²（正方形面积最大）
例题：开口箱子最大容积
正方形纸板（边长 12 cm），四角剪去正方形后折成开口箱，求最大容积。
设剪去角边长为 x，底边长 = 12−2x，高 = x
容积 V(x) = x(12−2x)² = x(144−48x+4x²)
V′(x) = (12−2x)² + x·2(12−2x)(−2) = (12−2x)(12−6x)
V′(x) = 0 → x = 6（舍，底=0）或 x = 2，x ∈ (0,6)
最优解：x = 2 cm，V = 2×8² = 128 cm³
常见优化类型速查
| 问题类型 | 目标函数 | 约束 | 结论 |
|---|---|---|---|
| 矩形最大面积 | S=xy | 2x+2y=L | x=y（正方形） |
| 矩形最小周长 | C=2x+2y | xy=A | x=y（正方形） |
| 圆柱最小表面积 | S=2πr²+2πrh | V=πr²h | h=2r（高=直径） |
| 利润最大化 | π=TR−TC | 需求函数 | MR=MC |
| 最短路径 | d²=x²+y² | 几何约束 | 求导置零 |