矩阵乘法 A × B = C（含步骤展示）
2×2
矩阵 A
[
]
×
矩阵 B
[
]
行列式计算（含展开过程）
矩阵 A
[
]
行列式公式
2×2: |a b; c d| = ad − bc
行列式 = 0 ⟺ 矩阵奇异（不可逆）
行列式的绝对值 = 列向量张成的平行四边形面积（2D）/ 平行六面体体积（3D）
行列式的绝对值 = 列向量张成的平行四边形面积（2D）/ 平行六面体体积（3D）
3×3 沿第一行展开:
|A| = a₁₁·M₁₁ − a₁₂·M₁₂ + a₁₃·M₁₃
其中 Mᵢⱼ 为 (i,j) 的代数余子式
|A| = a₁₁·M₁₁ − a₁₂·M₁₂ + a₁₃·M₁₃
其中 Mᵢⱼ 为 (i,j) 的代数余子式
逆矩阵（伴随矩阵法 / 初等变换）
矩阵 A
[
]
逆矩阵要点
A⁻¹ = (1/det(A)) · adj(A)
2×2 快速公式：
若 A = [a b; c d]，则 A⁻¹ = (1/(ad−bc))·[d −b; −c a]
存在条件：det(A) ≠ 0
若 A = [a b; c d]，则 A⁻¹ = (1/(ad−bc))·[d −b; −c a]
存在条件：det(A) ≠ 0
| 性质 | 公式 |
|---|---|
| 定义 | A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I |
| 乘积逆 | (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ |
| 转置逆 | (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ |
| 行列式 | det(A⁻¹) = 1/det(A) |
矩阵运算法则
| 运算 | 法则 |
|---|---|
| 加法 | A+B = B+A（交换律） |
| 加法结合 | (A+B)+C = A+(B+C) |
| 乘法结合 | (AB)C = A(BC) |
| 乘法分配 | A(B+C) = AB+AC |
| 乘法非交换 | AB ≠ BA（一般） |
| 转置乘积 | (AB)ᵀ = BᵀAᵀ |
| 数乘 | k(AB) = (kA)B = A(kB) |
特殊矩阵
| 名称 | 定义 / 性质 |
|---|---|
| 单位矩阵 I | 对角线为1，其余为0；AI=IA=A |
| 对称矩阵 | Aᵀ = A |
| 反对称矩阵 | Aᵀ = −A |
| 正交矩阵 | AᵀA = I，即 Aᵀ = A⁻¹ |
| 上三角矩阵 | 下三角全为零 |
| 对角矩阵 | 非对角元素全为零 |
| 奇异矩阵 | det = 0，不可逆 |
矩阵乘法条件与维数
A(m×n) · B(n×p) = C(m×p)
要求：A 的列数 = B 的行数
Cij = Σₖ Aik·Bkj（第 i 行与第 j 列的点积）
例：A(2×3)·B(3×4) → C(2×4)，计算 2×4=8 个元素，每个元素做 3 次乘法和加法
要求：A 的列数 = B 的行数
Cij = Σₖ Aik·Bkj（第 i 行与第 j 列的点积）
例：A(2×3)·B(3×4) → C(2×4)，计算 2×4=8 个元素，每个元素做 3 次乘法和加法