1.00
拖动滑块，实时观察矩阵对网格和图形的变换效果
当前矩阵 A =
10
01
det(A) = 1
面积倍数 = 1
变换前（蓝色）
变换后（橙色）
线性变换的核心性质
对任意向量 u, v 和标量 k，线性变换 T 满足：
• T(u + v) = T(u) + T(v)（加法保持）
• T(k·u) = k·T(u)（数乘保持）
等价条件：T 可以用矩阵乘法表示，即 T(x) = A·x
行列式的几何意义：|det(A)| = 变换后面积与原面积之比；det < 0 表示方向翻转。
• T(u + v) = T(u) + T(v)（加法保持）
• T(k·u) = k·T(u)（数乘保持）
等价条件：T 可以用矩阵乘法表示，即 T(x) = A·x
行列式的几何意义：|det(A)| = 变换后面积与原面积之比；det < 0 表示方向翻转。
特征值与特征向量：矩阵变换的"不变方向"
特征值理论
A·v = λ·v
特征向量 v 经过矩阵 A 变换后，方向不变，只伸缩 λ 倍。
求法：det(A − λI) = 0（特征多项式）
代入 λ 求零空间得特征向量
求法：det(A − λI) = 0（特征多项式）
代入 λ 求零空间得特征向量
2×2 特征方程:
λ² − tr(A)·λ + det(A) = 0
其中 tr(A) = a+d
λ² − tr(A)·λ + det(A) = 0
其中 tr(A) = a+d
判别式 Δ = tr² − 4det
• Δ > 0：两个实特征值
• Δ = 0：重特征值
• Δ < 0：复特征值（旋转矩阵）
• Δ > 0：两个实特征值
• Δ = 0：重特征值
• Δ < 0：复特征值（旋转矩阵）
常见线性变换图鉴
变换矩阵速查
| 变换类型 | 矩阵 | 行列式 | 特征值 |
|---|---|---|---|
| 恒等变换 | [1,0;0,1] | 1 | 1, 1 |
| 均匀缩放 k | [k,0;0,k] | k² | k, k |
| 旋转 θ | [cosθ,−sinθ;sinθ,cosθ] | 1 | e^(±iθ) |
| 水平翻转 | [−1,0;0,1] | −1 | −1, 1 |
| 水平错切 k | [1,k;0,1] | 1 | 1, 1 |
| 投影到 x 轴 | [1,0;0,0] | 0 | 0, 1 |