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2×2 方程组的几何解释
三种情形的几何含义
| 情形 | 几何描述 | 代数条件 | 解的情况 |
|---|---|---|---|
| 唯一解 | 两直线相交于一点 | det(A) ≠ 0 | x = A⁻¹b |
| 无穷解 | 两直线完全重合 | det(A) = 0，rank(A) = rank([A|b]) | 一维解空间 |
| 无解 | 两直线平行不交 | det(A) = 0，rank(A) < rank([A|b]) | 矛盾方程组 |
解的判断准则（秩）
- 设方程组 Ax = b，A 为 m×n 矩阵
- 计算系数矩阵 A 的秩 r(A) 和增广矩阵 [A|b] 的秩 r([A|b])
- 若 r(A) ≠ r([A|b])：无解（矛盾方程组）
- 若 r(A) = r([A|b]) = n：唯一解
- 若 r(A) = r([A|b]) < n：无穷多解（n−r 个自由变量）
自由变量数 = n − rank(A)
初等行变换（三类）
- 互换：交换第 i 行与第 j 行（Rᵢ ↔ Rⱼ）
- 倍乘：某行乘以非零常数 k（kRᵢ → Rᵢ）
- 倍加：将第 j 行的 k 倍加到第 i 行（Rᵢ + kRⱼ → Rᵢ）
这三类变换不改变方程组的解。通过有限步初等行变换，任何矩阵都可以化为行阶梯形，进一步化为行最简形（RREF）。
齐次方程组 Ax = 0 的解
零解（平凡解）：x = 0 永远是齐次方程组的解
非零解存在条件：det(A) = 0，即 rank(A) < n
• 若 A 是方阵且 det(A) ≠ 0 → 只有零解
• 若 A 是方阵且 det(A) = 0 → 有非零解
• 非零解构成一个线性子空间（零空间/核空间）
非零解存在条件：det(A) = 0，即 rank(A) < n
• 若 A 是方阵且 det(A) ≠ 0 → 只有零解
• 若 A 是方阵且 det(A) = 0 → 有非零解
• 非零解构成一个线性子空间（零空间/核空间）
Ax = 0 有非零解 ⟺ det(A) = 0
通解 = 特解 + 齐次通解
非齐次方程 Ax = b 的通解 = 任意特解 + 对应齐次方程 Ax = 0 的通解