拖动向量端点，观察平行四边形面积 = |det(A)|
向量 v₁
—
向量 v₂
—
det(A) = ad − bc
—
平行四边形面积
—
方向
—
几何解释
设矩阵 A 的两列向量为 v₁ = (a, c) 和 v₂ = (b, d)，则：
• |det(A)| = 以 v₁, v₂ 为边的平行四边形面积
• det(A) > 0：v₁ 到 v₂ 逆时针旋转（正向）
• det(A) < 0：v₁ 到 v₂ 顺时针旋转（方向翻转）
• det(A) = 0：两向量共线，平行四边形面积为 0（线性相关）
• |det(A)| = 以 v₁, v₂ 为边的平行四边形面积
• det(A) > 0：v₁ 到 v₂ 逆时针旋转（正向）
• det(A) < 0：v₁ 到 v₂ 顺时针旋转（方向翻转）
• det(A) = 0：两向量共线，平行四边形面积为 0（线性相关）
det [v₁ v₂] = |v₁||v₂| sin θ = 平行四边形有向面积
矩阵变换前后面积之比 = |det(A)|
变换前（单位正方形，面积=1）
变换后（面积 = |det(A)|）
矩阵 A
—
det(A)
—
面积倍数 |det|
—
行列式的基本性质
| 性质 | 公式 |
|---|---|
| 单位矩阵 | det(I) = 1 |
| 转置不变 | det(Aᵀ) = det(A) |
| 乘积法则 | det(AB) = det(A)·det(B) |
| 逆矩阵 | det(A⁻¹) = 1/det(A) |
| 数乘（n阶） | det(kA) = kⁿ·det(A) |
| 行列互换 | 交换两行，det 变号 |
| 行倍加 | 某行加另一行的倍数，det 不变 |
| 行成比例 | 两行成比例，det = 0 |
行列式与可逆性
核心等价条件（以下条件等价）：
• det(A) ≠ 0
• A 可逆（存在 A⁻¹）
• Ax = b 有唯一解（对任意 b）
• A 的列向量线性无关
• A 的秩 = n（满秩）
• A 的零空间只含零向量
• det(A) ≠ 0
• A 可逆（存在 A⁻¹）
• Ax = b 有唯一解（对任意 b）
• A 的列向量线性无关
• A 的秩 = n（满秩）
• A 的零空间只含零向量
A 可逆 ⟺ det(A) ≠ 0
Cramer 法则（行列式求解方程组）
对方程组 Ax = b，若 det(A) ≠ 0，则唯一解为：
xᵢ = det(Aᵢ) / det(A)
其中 Aᵢ 是将 A 的第 i 列替换为 b 得到的矩阵。
xᵢ = det(Aᵢ) / det(A)
其中 Aᵢ 是将 A 的第 i 列替换为 b 得到的矩阵。
x₁ = det(A₁)/det(A)
x₂ = det(A₂)/det(A)
x₂ = det(A₂)/det(A)
2×2 例题：
3x + y = 7
x + 2y = 4
det(A) = 3·2 − 1·1 = 5
det(A₁) = 7·2 − 1·4 = 10 → x = 2
det(A₂) = 3·4 − 7·1 = 5 → y = 1
解：x = 2, y = 1
3x + y = 7
x + 2y = 4
det(A) = 3·2 − 1·1 = 5
det(A₁) = 7·2 − 1·4 = 10 → x = 2
det(A₂) = 3·4 − 7·1 = 5 → y = 1
解：x = 2, y = 1