两种重要的离散分布
二项分布 B(n, p)：n 次独立伯努利试验中，成功次数 X 的分布
P(X=k) = C(n,k)·pᵏ·(1-p)ⁿ⁻ᵏ
E(X)=np，D(X)=np(1-p)
P(X=k) = C(n,k)·pᵏ·(1-p)ⁿ⁻ᵏ
E(X)=np，D(X)=np(1-p)
泊松分布 P(λ)：单位时间/空间内稀少事件的发生次数
P(X=k) = λᵏ·e⁻λ / k!
E(X)=λ，D(X)=λ
P(X=k) = λᵏ·e⁻λ / k!
E(X)=λ，D(X)=λ
当 n 很大、p 很小且 np=λ 时，二项分布近似为泊松分布。
📊 二项分布 B(n,p)
🔵 泊松分布 P(λ)
⚖️ 近似对比
参数
查询单点概率
E(X)=np
D(X)
P(X=k)
P(X≤k)
| k | P(X=k) | P(X≤k) |
|---|
参数
查询单点概率
E(X)=λ
D(X)=λ
P(X=k)
P(X≤k)
例：每小时进入商场的顾客数服从泊松分布。λ=3 意味着平均每小时 3 人到达。
| k | P(X=k) | P(X≤k) |
|---|
当 n 很大、p 很小时，B(n,p) ≈ P(λ=np)。调节 n 和 p，观察二项分布（蓝色）与泊松近似（橙色）的吻合程度。
100
0.03
B(n,p) 二项分布
P(λ=np) 泊松近似
近似条件：一般要求 n≥100，p≤0.01，或 n≥50，p≤0.1，且 λ=np 不太大。
满足这些条件时，泊松近似误差极小，可替代复杂的二项分布计算。